Las expresiones del tipo \(\left( a+b\right) \left( a-b\right)\) es igual a la diferencia de cuadrados \(a^{2}-b^{2}\)
Aquí os dejo unos ejemplos de diferencia de cuadrados.
\(\bullet \left( x+3\right) \left( x-3\right) =x^{2}-9\)
\(\bullet \left( x-5\right) \left( x+5\right) =x^{2}-25\)
\(\bullet \left( 2x-7\right) \left( 2x+7\right) =4x^{2}-49\)
\(\bullet \left( 4a+2b\right) \left( 4a-2b\right) =16a^{2}-4b^{2}\)
\(\bullet \left( 3q-p\right) \left( 3q+p\right) =9q^{2}-p^{2}\)
Sí tenéis alguna duda en éste o en otro ejercicio de esta página o vuestro no dudéis en preguntarmelo
martes, 15 de abril de 2014
Productos notables: Cuadrado de un binomio resta
El cuadrado de un binomio resta \(\left( a-b\right) ^{2}\) es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo \(\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio resta
\(\bullet \left( x-4\right) ^{2}=x^{2}-8x+16\)
\(\bullet \left( 3x-2\right) ^{2}=9x^{2}-12x+4\)
\(\bullet \left( 2x-5\right) ^{2}=4x^{2}-20x+25\)
\(\bullet \left( 4a-3b\right) ^{2}=16a^{2}-24ab+9b^{2}\)
\(\bullet \left( 3p-5q\right) ^{2}=9p^{2}-30pq+25q^{2}\)
Sí tenéis alguna duda no dudéis en postear
Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio resta
\(\bullet \left( x-4\right) ^{2}=x^{2}-8x+16\)
\(\bullet \left( 3x-2\right) ^{2}=9x^{2}-12x+4\)
\(\bullet \left( 2x-5\right) ^{2}=4x^{2}-20x+25\)
\(\bullet \left( 4a-3b\right) ^{2}=16a^{2}-24ab+9b^{2}\)
\(\bullet \left( 3p-5q\right) ^{2}=9p^{2}-30pq+25q^{2}\)
Sí tenéis alguna duda no dudéis en postear
Productos notables: Cuadrado de un binomio suma
El cuadrado de un binomio suma \(\left( a+b\right) ^{2}\) es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo \(\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio suma
\(\bullet \left( x+3\right) ^{2}=x^{2}+6x+9\)
\(\bullet \left( x+5\right) ^{2}=x^{2}+10x+25\)
\(\bullet \left( 3x+5\right) ^{2}=9x^{2}+30x+25\)
\(\bullet \left( 3a+5b\right) ^{2}=9a^{2}+30ab+25b^{2}\)
\(\bullet \left( 2p+q\right) ^{2}=4p^{2}+4pq+q^{2}\)
Sí tenéis alguna duda no dudéis en postear
Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio suma
\(\bullet \left( x+3\right) ^{2}=x^{2}+6x+9\)
\(\bullet \left( x+5\right) ^{2}=x^{2}+10x+25\)
\(\bullet \left( 3x+5\right) ^{2}=9x^{2}+30x+25\)
\(\bullet \left( 3a+5b\right) ^{2}=9a^{2}+30ab+25b^{2}\)
\(\bullet \left( 2p+q\right) ^{2}=4p^{2}+4pq+q^{2}\)
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Valor númerico 2
En estos ejercicios tenemos que sustituir el valor de la variable y realizar las operaciones.
\(\bullet P\left( x\right) =3x^{2}-5x+3;\ \ x=2\)
\(P\left( 2\right) =3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+3\)
\(P\left( 2\right) =12-10+3\)
\(\boxed{P\left( 2\right) = 5}\)
\(\bullet P\left( x,y\right) =2x^{3}y-5x;\ \ x=-1\ \ y=5\)
\(P\left( -1,5\right) =2\cdot 5\left( -1\right) ^{3}-5\left( -1\right) \)
\(P\left( -1,5\right) =-10+5\)
\(\boxed{P\left( -1,5\right) =-5}\)
\(\bullet P\left( x,y\right) =3xy^{3}-2x^{2}y^{2}-1;\ \ x=2\ \ y=-1\)
\(P\left(2,-1\right) =3-2\left( -1\right) ^{3}-2\cdot 2^{2}\left( -1\right) ^{2}-1\)
\(P\left(2,-1\right) =-6-8-1\)
\(\boxed{P\left(2,-1\right) =-15}\)
\(\bullet P\left( x\right) =\left( \dfrac {x^{2}+x-12} {x+4}\right) ;\ \ x=3\)
\(P\left( 3\right) =\dfrac {3^{2}+3-12} {3+4}=\dfrac {12-12} {7}\)
\(\boxed{P\left(3\right) =0}\)
\(\bullet P\left( a,b\right) =5ab-6+2b^{5};\ \ a=3\ \ b=-2\)
\(P\left( 3,-2\right) =5\cdot 3\left( -2\right) -6+2\left( -2\right) ^{5}\)
\(P\left( 3,-2\right) =-30-6-64\)
\(\boxed{P\left( 3,-2\right) =-100}\)
\(\bullet P\left( x\right) =3x^{2}-5x+3;\ \ x=2\)
\(P\left( 2\right) =3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+3\)
\(P\left( 2\right) =12-10+3\)
\(\boxed{P\left( 2\right) = 5}\)
\(\bullet P\left( x,y\right) =2x^{3}y-5x;\ \ x=-1\ \ y=5\)
\(P\left( -1,5\right) =2\cdot 5\left( -1\right) ^{3}-5\left( -1\right) \)
\(P\left( -1,5\right) =-10+5\)
\(\boxed{P\left( -1,5\right) =-5}\)
\(\bullet P\left( x,y\right) =3xy^{3}-2x^{2}y^{2}-1;\ \ x=2\ \ y=-1\)
\(P\left(2,-1\right) =3-2\left( -1\right) ^{3}-2\cdot 2^{2}\left( -1\right) ^{2}-1\)
\(P\left(2,-1\right) =-6-8-1\)
\(\boxed{P\left(2,-1\right) =-15}\)
\(\bullet P\left( x\right) =\left( \dfrac {x^{2}+x-12} {x+4}\right) ;\ \ x=3\)
\(P\left( 3\right) =\dfrac {3^{2}+3-12} {3+4}=\dfrac {12-12} {7}\)
\(\boxed{P\left(3\right) =0}\)
\(\bullet P\left( a,b\right) =5ab-6+2b^{5};\ \ a=3\ \ b=-2\)
\(P\left( 3,-2\right) =5\cdot 3\left( -2\right) -6+2\left( -2\right) ^{5}\)
\(P\left( 3,-2\right) =-30-6-64\)
\(\boxed{P\left( 3,-2\right) =-100}\)
Operaciones con polinomios
Aquí os dejo unos ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios.
Siendo:
\(P\left( x\right) =2x^{2}-3x+1\)
\(Q\left( x\right) =5x^{2}+x-3\)
\(R\left( x\right) =4x-3\)
\(S\left( x\right) =x^{3}+2x^{2}-x+3\)
\(\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) =\)
\(P\left( x\right) +Q\left( x\right) =2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3\)
\(\boxed{P\left( x\right) +Q\left( x\right) = 7x^{2}-2x-2}\)
\(\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) =\)
\(\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) = 2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3-x^{3}-2x^{2}+x-3\)
\(\boxed{\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) = -x^{3}+5x^{2}-x-2}\)
\(\bullet\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) =\)
\(\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 2x^{2}-3x+1\right)\)
\(\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-12x^{2}+4x-6x^{2}+9x-3\)
\(\boxed{\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-18x^{2}+13x-3}\)
\(\bullet\ R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) =\)
\(R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 5x^{2}+x-3\right)\)
\(R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}+4x^{2}-12x-15x^{2}-3x+9\)
\(\boxed{R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}-11x^{2}-15x+9}\)
\(\bullet\ P\left( x\right) \cdot S\left( x\right) =\)
\(P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = \left( 2x^{2}-3x+1\right) \left( x^{3}+2x^{2}-x+3\right)\)
\(P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = 2x^{5}+4x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}-9x+x^{3}+2x^{2}-x+3\)
\(\boxed{\ P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) =2x^{5}+x^{4}-7x^{3}+11x^{2}-10x+3}\)
Si veis alguna errata o tenéis alguna duda dejad un comentario
Siendo:
\(P\left( x\right) =2x^{2}-3x+1\)
\(Q\left( x\right) =5x^{2}+x-3\)
\(R\left( x\right) =4x-3\)
\(S\left( x\right) =x^{3}+2x^{2}-x+3\)
\(\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) =\)
\(P\left( x\right) +Q\left( x\right) =2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3\)
\(\boxed{P\left( x\right) +Q\left( x\right) = 7x^{2}-2x-2}\)
\(\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) =\)
\(\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) = 2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3-x^{3}-2x^{2}+x-3\)
\(\boxed{\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right) = -x^{3}+5x^{2}-x-2}\)
\(\bullet\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) =\)
\(\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 2x^{2}-3x+1\right)\)
\(\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-12x^{2}+4x-6x^{2}+9x-3\)
\(\boxed{\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-18x^{2}+13x-3}\)
\(\bullet\ R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) =\)
\(R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 5x^{2}+x-3\right)\)
\(R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}+4x^{2}-12x-15x^{2}-3x+9\)
\(\boxed{R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}-11x^{2}-15x+9}\)
\(\bullet\ P\left( x\right) \cdot S\left( x\right) =\)
\(P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = \left( 2x^{2}-3x+1\right) \left( x^{3}+2x^{2}-x+3\right)\)
\(P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = 2x^{5}+4x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}-9x+x^{3}+2x^{2}-x+3\)
\(\boxed{\ P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) =2x^{5}+x^{4}-7x^{3}+11x^{2}-10x+3}\)
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Lenguaje algebraico 2
Vamos a explicar en esta entrada diferentes términos utilizados en el lenguaje algebraico.
Monomio: Es el producto de un valor conocido (coeficiente) y de uno o varios valores desconocidos (parte literal):
Ejemplo: \( -5xz^{2}\) donde -5 es el coeficiente, y \(xz^{2}\) es la parte literal.
Monomios semejantes: Son aquellos monomios con la misma parte literal.
Ejemplo: \(3xz^{2}\) y \(-5xz^{2}\)
Suma y resta de monomios: Sólo se pueden realizar si dos monomios son semejantes.
Ejemplo: \(3xz^{2}-5xz^{2}=-2xz^{2}\)
Producto y cociente de monomios: Se realiza los coeficientes por un lado, y en la parte literal cada parte variable con la suya.
Ejemplo: \(3xz^{2}\cdot 5xz^{2}=-15x^{1+1}z^{2+2}\)=\-15x^{2}z^{4}
Polinomio: Suma o resta de varios monomios
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x\)
Valor numérico: Se sustituye la variable por un determinado valor.
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x\) \(x=3\)
\(5\cdot 27-3\cdot 9+5\cdot 3=123\)
Factor común: Convertir ciertas sumas en producto
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x= x\left( 5x^{2}-3x+5\right) \)
Binomio suma o cuadrado de una suma
\(\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
Binomio resta o cuadrado de una diferencia
\(\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
Suma por diferencia o diferencia de cuadrados
\(\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}\)
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Monomio: Es el producto de un valor conocido (coeficiente) y de uno o varios valores desconocidos (parte literal):
Ejemplo: \( -5xz^{2}\) donde -5 es el coeficiente, y \(xz^{2}\) es la parte literal.
Monomios semejantes: Son aquellos monomios con la misma parte literal.
Ejemplo: \(3xz^{2}\) y \(-5xz^{2}\)
Suma y resta de monomios: Sólo se pueden realizar si dos monomios son semejantes.
Ejemplo: \(3xz^{2}-5xz^{2}=-2xz^{2}\)
Producto y cociente de monomios: Se realiza los coeficientes por un lado, y en la parte literal cada parte variable con la suya.
Ejemplo: \(3xz^{2}\cdot 5xz^{2}=-15x^{1+1}z^{2+2}\)=\-15x^{2}z^{4}
Polinomio: Suma o resta de varios monomios
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x\)
Valor numérico: Se sustituye la variable por un determinado valor.
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x\) \(x=3\)
\(5\cdot 27-3\cdot 9+5\cdot 3=123\)
Factor común: Convertir ciertas sumas en producto
\(P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x= x\left( 5x^{2}-3x+5\right) \)
Binomio suma o cuadrado de una suma
\(\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\)
Binomio resta o cuadrado de una diferencia
\(\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\)
\(\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}\)
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Problemas de porcentajes
Aquí os dejo unos problemas variados de porcentajes.
1.-A unos pantalones de 50 € le rebajan un 20% ¿Cuánto pagaré por los pantalones?
\(50\ \ €\ \cdot \left( 1-0,20\right) =\boxed{40\ \ €}\)
2.- Sí la población de un municipio es de 3500 habitantes y 220 son mayores de 65 años. ¿Cuál es el porcentaje de mayores de 65 años?
\(\dfrac {2200 \ \ mayores} {3500\ \ habitantes}\cdot100=\boxed{62,86\%}\)
3.- En un invernadero tengo 30000 plantas de las que un 33% son pensamientos, 40% son hiedras y 27% son albahacas. ¿Cuántas plantas de cada tipo hay en dicho invernadero?
\(\ \ Pensamientos=30000\cdot0,33=\boxed{9900\ \ pensamientos}\)
\(\ \ Hiedras=30000\cdot0,40=\boxed{12000\ \ hiedras}\)
\(\ \ Albahacas=30000\cdot0,27=\boxed{8100\ \ albahacas}\)
4.- Juan se compró una tele de precio 1200 € y le rebajaron 100 € ¿Cuánto porcentaje le rebajaron?
\(\dfrac {100} {1200}.100=\boxed{8,33\%}\)
5.- El precio de una tablet es de 479 € con IVA. Si el IVA es del 21% ¿Cuánto valdría sin IVA?
\(\dfrac {479\ \ €} {1,21}=\boxed{395,87\ \ €}\)
1.-A unos pantalones de 50 € le rebajan un 20% ¿Cuánto pagaré por los pantalones?
\(50\ \ €\ \cdot \left( 1-0,20\right) =\boxed{40\ \ €}\)
2.- Sí la población de un municipio es de 3500 habitantes y 220 son mayores de 65 años. ¿Cuál es el porcentaje de mayores de 65 años?
\(\dfrac {2200 \ \ mayores} {3500\ \ habitantes}\cdot100=\boxed{62,86\%}\)
3.- En un invernadero tengo 30000 plantas de las que un 33% son pensamientos, 40% son hiedras y 27% son albahacas. ¿Cuántas plantas de cada tipo hay en dicho invernadero?
\(\ \ Pensamientos=30000\cdot0,33=\boxed{9900\ \ pensamientos}\)
\(\ \ Hiedras=30000\cdot0,40=\boxed{12000\ \ hiedras}\)
\(\ \ Albahacas=30000\cdot0,27=\boxed{8100\ \ albahacas}\)
4.- Juan se compró una tele de precio 1200 € y le rebajaron 100 € ¿Cuánto porcentaje le rebajaron?
\(\dfrac {100} {1200}.100=\boxed{8,33\%}\)
5.- El precio de una tablet es de 479 € con IVA. Si el IVA es del 21% ¿Cuánto valdría sin IVA?
\(\dfrac {479\ \ €} {1,21}=\boxed{395,87\ \ €}\)
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