Productos notables: Suma por diferencia (Diferencia de cuadrados)

Las expresiones del tipo $\left( a+b\right) \left( a-b\right)$ es igual a la diferencia de cuadrados $a^{2}-b^{2}$

Aquí os dejo unos ejemplos de diferencia de cuadrados.

$\bullet \left( x+3\right) \left( x-3\right) =x^{2}-9$

$\bullet \left( x-5\right) \left( x+5\right) =x^{2}-25$

$\bullet \left( 2x-7\right) \left( 2x+7\right) =4x^{2}-49$

$\bullet \left( 4a+2b\right) \left( 4a-2b\right) =16a^{2}-4b^{2}$

$\bullet \left( 3q-p\right) \left( 3q+p\right) =9q^{2}-p^{2}$

Sí tenéis alguna duda en éste o en otro ejercicio de esta página o vuestro no dudéis en preguntarmelo

Productos notables: Cuadrado de un binomio resta

El cuadrado de un binomio resta $\left( a-b\right) ^{2}$ es igual al cuadrado del primero menos el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo $\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio resta

$\bullet \left( x-4\right) ^{2}=x^{2}-8x+16$

$\bullet \left( 3x-2\right) ^{2}=9x^{2}-12x+4$

$\bullet \left( 2x-5\right) ^{2}=4x^{2}-20x+25$

$\bullet \left( 4a-3b\right) ^{2}=16a^{2}-24ab+9b^{2}$

$\bullet \left( 3p-5q\right) ^{2}=9p^{2}-30pq+25q^{2}$

Sí tenéis alguna duda no dudéis en postear

Productos notables: Cuadrado de un binomio suma

El cuadrado de un binomio suma $\left( a+b\right) ^{2}$ es igual al cuadrado del primero más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo $\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Aquí os dejo unos nuevos ejercicios de cuadrado de un binomio suma

$\bullet \left( x+3\right) ^{2}=x^{2}+6x+9$

$\bullet \left( x+5\right) ^{2}=x^{2}+10x+25$

$\bullet \left( 3x+5\right) ^{2}=9x^{2}+30x+25$

$\bullet \left( 3a+5b\right) ^{2}=9a^{2}+30ab+25b^{2}$

$\bullet \left( 2p+q\right) ^{2}=4p^{2}+4pq+q^{2}$

Sí tenéis alguna duda no dudéis en postear

Valor númerico 2

En estos ejercicios tenemos que sustituir el valor de la variable y realizar las operaciones.

$\bullet P\left( x\right) =3x^{2}-5x+3;\ \ x=2$

$P\left( 2\right) =3\cdot 2^{2}-5\cdot 2+3$

$P\left( 2\right) =12-10+3$

$\boxed{P\left( 2\right) = 5}$

$\bullet P\left( x,y\right) =2x^{3}y-5x;\ \ x=-1\ \ y=5$

$P\left( -1,5\right) =2\cdot 5\left( -1\right) ^{3}-5\left( -1\right)$

$P\left( -1,5\right) =-10+5$

$\boxed{P\left( -1,5\right) =-5}$

$\bullet P\left( x,y\right) =3xy^{3}-2x^{2}y^{2}-1;\ \ x=2\ \ y=-1$

$P\left(2,-1\right) =3-2\left( -1\right) ^{3}-2\cdot 2^{2}\left( -1\right) ^{2}-1$

$P\left(2,-1\right) =-6-8-1$

$\boxed{P\left(2,-1\right) =-15}$

$\bullet P\left( x\right) =\left( \dfrac {x^{2}+x-12} {x+4}\right) ;\ \ x=3$

$P\left( 3\right) =\dfrac {3^{2}+3-12} {3+4}=\dfrac {12-12} {7}$

$\boxed{P\left(3\right) =0}$

$\bullet P\left( a,b\right) =5ab-6+2b^{5};\ \ a=3\ \ b=-2$

$P\left( 3,-2\right) =5\cdot 3\left( -2\right) -6+2\left( -2\right) ^{5}$

$P\left( 3,-2\right) =-30-6-64$

$\boxed{P\left( 3,-2\right) =-100}$

Operaciones con polinomios

Aquí os dejo unos ejercicios de suma, resta y multiplicación de polinomios.

Siendo:
$P\left( x\right) =2x^{2}-3x+1$
$Q\left( x\right) =5x^{2}+x-3$
$R\left( x\right) =4x-3$
$S\left( x\right) =x^{3}+2x^{2}-x+3$

$\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) =$

$P\left( x\right) +Q\left( x\right) =2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3$

$\boxed{P\left( x\right) +Q\left( x\right) = 7x^{2}-2x-2}$

$\bullet\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right)  =$

$\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right)  = 2x^{2}-3x+1+5x^{2}+x-3-x^{3}-2x^{2}+x-3$

$\boxed{\ P\left( x\right) +Q\left( x\right) -S\left( x\right)  = -x^{3}+5x^{2}-x-2}$

$\bullet\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) =$

$\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 2x^{2}-3x+1\right)$

$\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-12x^{2}+4x-6x^{2}+9x-3$

$\boxed{\ R\left( x\right)\cdot P\left( x\right) = 8x^{3}-18x^{2}+13x-3}$

$\bullet\ R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) =$

$R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = \left( 4x-3\right) \left( 5x^{2}+x-3\right)$

$R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}+4x^{2}-12x-15x^{2}-3x+9$

$\boxed{R\left( x\right)\cdot Q\left( x\right) = 20x^{3}-11x^{2}-15x+9}$

$\bullet\ P\left( x\right) \cdot S\left( x\right) =$

$P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = \left( 2x^{2}-3x+1\right) \left( x^{3}+2x^{2}-x+3\right)$

$P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) = 2x^{5}+4x^{4}-2x^{3}+6x^{2}-3x^{4}-6x^{3}+3x^{2}-9x+x^{3}+2x^{2}-x+3$

$\boxed{\ P\left( x\right)\cdot S\left( x\right) =2x^{5}+x^{4}-7x^{3}+11x^{2}-10x+3}$

Si veis alguna errata o tenéis alguna duda dejad un comentario

Lenguaje algebraico 2

Vamos a explicar en esta entrada diferentes términos utilizados en el lenguaje algebraico.

Monomio: Es el producto de  un valor conocido (coeficiente) y de uno o varios valores desconocidos (parte literal):

Ejemplo: $-5xz^{2}$ donde -5 es el coeficiente, y $xz^{2}$ es la parte literal.

Monomios semejantes: Son aquellos monomios con la misma parte literal.

Ejemplo: $3xz^{2}$ y $-5xz^{2}$

Suma y resta de monomios: Sólo se pueden realizar si dos monomios son semejantes.

Ejemplo: $3xz^{2}-5xz^{2}=-2xz^{2}$

Producto y cociente de monomios: Se realiza los coeficientes por un lado, y en la parte literal cada parte variable con la suya.

Ejemplo: $3xz^{2}\cdot 5xz^{2}=-15x^{1+1}z^{2+2}$=\-15x^{2}z^{4}

Polinomio: Suma o resta de varios monomios

$P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x$

Valor numérico: Se sustituye la variable por un determinado valor.

$P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x$  $x=3$

$5\cdot 27-3\cdot 9+5\cdot 3=123$

Factor común: Convertir ciertas sumas en producto

$P\left( x\right) =5x^{3}-3x^{2}+5x= x\left( 5x^{2}-3x+5\right)$

Binomio suma o cuadrado de una suma

$\left( a+b\right) ^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

Binomio resta o cuadrado de una diferencia

$\left( a-b\right) ^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

Suma por diferencia o diferencia de cuadrados

$\left( a+b\right) \left( a-b\right) =a^{2}-b^{2}$

Si tenéis alguna duda dejadme un comentario

Problemas de porcentajes

Aquí os dejo unos problemas variados de porcentajes.

1.-A unos pantalones de 50 € le rebajan un 20% ¿Cuánto pagaré por los pantalones?

$50\ \ €\ \cdot \left( 1-0,20\right) =\boxed{40\ \ €}$

2.- Sí la población de un municipio es de 3500 habitantes y 220 son mayores de 65 años. ¿Cuál es el porcentaje de mayores de 65 años?

$\dfrac {2200 \ \ mayores} {3500\ \ habitantes}\cdot100=\boxed{62,86\%}$

3.- En un invernadero tengo 30000 plantas de las que un 33%  son pensamientos, 40% son hiedras y 27% son albahacas. ¿Cuántas plantas de cada tipo hay en dicho invernadero?

$\ \ Pensamientos=30000\cdot0,33=\boxed{9900\ \ pensamientos}$

$\ \ Hiedras=30000\cdot0,40=\boxed{12000\ \ hiedras}$

$\ \ Albahacas=30000\cdot0,27=\boxed{8100\ \ albahacas}$

4.- Juan se compró una tele de precio 1200 € y le rebajaron 100 € ¿Cuánto porcentaje le rebajaron?

$\dfrac {100} {1200}.100=\boxed{8,33\%}$

5.- El precio de una tablet es de 479 € con IVA. Si el IVA es del 21% ¿Cuánto valdría sin IVA?

$\dfrac {479\ \ €} {1,21}=\boxed{395,87\ \ €}$