Opereaciones combinadas. Potencias y raices

Las reglas de las potencias y raíces son.

1) La base elevada a la unidad es igual a la base. Ejemplo \(2^{1}=2\)

2) La base elevada a cero es igual a la unidad. Ejemplo  \(2^{0}=1\)

3) La base elevada a menos 1 es igual a la inversa de la base. Ejemplo \(2^{-1}=\dfrac {1} {2}\)

4) Multiplicación de potencias con la misma base, se deja la misma base y se suman los exponentes.

Ejemplo. \(2^{2}\cdot 2^{3}=2^{2+3}=2^{5}\)

5) División de potencias con la misma base, se deja  la misma base y se restan los exponentes.

Ejemplo. \(\dfrac {2^{5}} {2^{2}}=2^{5-2}=2^{3}\).

6) Potencia de una potencia. Se deja la misma base y se multiplican los exponentes.

Ejemplo. \(\left( 2^{2}\right) ^{3}=2^{2\cdot 3}=2^{6}\)

7) La multiplicación de dos potencias con el mismo exponente pero distinta base, se deja el mismo

exponente y se multiplican las bases. Ejemplo. \(2^{3}\cdot 5^{3}=\left( 2\cdot 5\right) ^{3}=10^{3}\)

8) La división de dos potencias con el mismo exponente pero distinta base, se deja el mismo exponente yse

dividen las bases. Ejemplo. \(\dfrac {6^{4}} {2^{4}}=\left( \dfrac {6} {2}\right) ^{4}=3^{4}\).

9) Una base cuyo exponente sea negativo es igual a la inversa de la base y exponente positivo.

Ejemplo. \(2^{-5}=\dfrac {1} {2^{5}}\)

10) Una base cuyo exponente sea una fracción, es una raiz cuyo indice es el denominador del exponente y el numerador es el exponente del radicando (base).

Ejemplo. \(\left( 3\right) ^{\dfrac {2} {5}}=\sqrt [5] {3^{2}}\)



Aquí os dejo unas operaciones con potencia y raíces.

\(\bullet\left( 3^{2}\cdot 2^{2}\right) ^{0}-\sqrt {36}+\sqrt {121}=\)

\(=1-\sqrt {2^{2}\cdot 3^{2}}+\sqrt {11^{2}}=\)

\(=1-2\cdot 3+11=\)

\(=\boxed{6}\)

\(\bullet\left( -6\right) ^{3}:\left( -3\right) ^{3}+\left( -8\right) ^{2}:\left( -4\right) ^{2}=\)

\(=6^{3}:3^{3}+8^{2}:4^{2}=\)

\(=2^{3}+2^{2}=\)

\(=8+4=\)

\(=\boxed{12}\)

\(\bullet2^{-2}\cdot 2^{7}\cdot 2^{-6}\cdot 2^{4}=\)

\(=2^{7+4}\cdot 2^{-\left( 6+2\right) }=\)

\(=2^{7+4}\cdot 2^{-\left( 6+2\right) }=\)

\(=2^{3}=\)

\(=\boxed{8}\)

\(\bullet\left( 5-4\right) ^{3}\cdot \left( 6-2\right) ^{0}+\sqrt [3] {5+10^{2}+20}-2\cdot \left[ 8-2\left( -2\right) ^{2}\right] =\)

\(=1^{3}\cdot 4^{0 }+\sqrt [3] {125}-2\cdot \left[ 8-2\cdot 4\right] \)

\(=1+\sqrt [3] {5^{3}}-2\cdot 0=\)

\(=1+5=\)

\(=\boxed{6}\)

\(\bullet3^{2}-\left( -4\right) ^{2}+2^{4}+\left( -2\right) ^{3}-9^{0 }+6^{1}=\)

\(=3^{2}-\left( -2^{2}\right) ^{2}+2^{4}+\left( -2\right) ^{3}-1+6=\)

\(=9-16+16-8-1+6=\)

\(=\boxed{6}\)