Descomponer y simplificar

\(\bullet\dfrac {2^{7}\cdot 2^{10}} {2^{8}\cdot 2^{5}=}\dfrac {2^{10+7}} {2^{8+5}}=2^{17-13}=\boxed{2^{4}}\)

\(\bullet\dfrac {18^{2}\cdot 150} {3^{3}\cdot 5^{2}}=\dfrac {\left( 2\cdot 3^{2}\right) ^{2}\cdot 2\cdot 3\cdot 5^{2}} {3^{3}\cdot 5^{2}}=\dfrac {2^{2}\cdot 3^{4}\cdot 2\cdot 3} {3^{3}}=2^{2+1}\cdot 3^{4+1-3}=\boxed{2^{3}\cdot 3^{2}}\)

\(\bullet\left[ \left( -2\right) ^{6}:\left( -2\right) ^{3}\right] ^{3}\cdot \left( -2\right) ^{0}\cdot \left( -2\right) ^{-4}=\left( \left( -2\right) ^{3}\right) ^{3}.\left( -2\right) ^{0}\cdot \left( -2\right) ^{-4}=\\

=\left( -2\right) ^{9}\cdot 1\cdot \left( -2\right) ^{-4}=\boxed{-2^{5}}\)

\(\bullet\dfrac {2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}} {65\cdot 10^{4}}=\dfrac {2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}} {\left( 2\cdot 3\right) ^{5}\cdot \left( 25\right) ^{4}}=\dfrac {2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}} {2^{5}\cdot 3^{5}\cdot 2^{4}\cdot 5^{4}}=\dfrac {2^{10}\cdot 3^{4}\cdot 5^{6}} {2^{9}\cdot 3^{5}\cdot 5^{4}}=\boxed{\dfrac {2\cdot 5^{2}} {3}}\)

\(\bullet\dfrac {36\cdot 25} {4\cdot 81}=\dfrac {{\not2^{2}}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}} {{\not2^{2}}\cdot 3^{4}}=\boxed{\dfrac {5^{2}} {3^{2}}}\)

Descomposición en factores primos

Un número primo, es aquel número natural mayor que 1 y que sólo es divisible por él mismo y la unidad.

Los números primos hasta  el número 20 son 2,3,5,7,11,13,17 y 19.

¿Cómo sabemos si un número es divisible por un número primo?

Aquí os dejo las reglas de divisibilidad de los primeros números primos.

Números divisibles entre 2 todos los números pares.

Ejemplos: 8,24,36

Números divisibles entre 3 los números cuyas todas cifras suman un número múltiplo de 3.

Ejemplos: 6, 21 ( 2+1=3), 54 (5+4=9) 9 múltiplo de 3

Números divisibles entre 5 los números cuya unidad acaba en 0 ó 5.

Ejemplos: 10, 35, 1000, 11115.

Números divisibles entre 7 son aquellos que eliminando la unidad y restando el doble de la unidad es un 0 ó múltiplo de 7.

Ejemplo: 371 (37-2·1=35)  35 es múltiplo de 7.

Números divisibles entre 11 son aquellos que si la diferencia de la suma de cifras de posición par e impar es 0 o múltiplo de 11.

Ejemplo: 275 Impares 2+5=7 Pares 7 Impares -Pares = 7-7 = 0.

En los números que terminan en 0 es más fácil factorizarlos como 2·5.

Aquí os dejo unos ejercicios resueltos de descomposición en factores primos.

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Por lo tanto:

\(36=2^{2}\cdot 3^{2}\)

\(45=3^{2}\cdot 5\)

\(84=2^{2}\cdot 3\cdot 7\)

\(330=2\cdot 3\cdot 5\cdot 11\)

\(2450=2\cdot 5^{2}\cdot 7^{2}\)

\(216=2^{3}\cdot 3^{3}\)

\(64=2^{6}\)

\(2250=2\cdot 3^{2}\cdot 5^{3}\)

\(70=2\cdot 5\cdot 7\)

\(198=2\cdot 3^{2}\cdot 11\)

\(224=2^{5}\cdot 7\)

\(2310=2\cdot 5\cdot 3\cdot 7\cdot 11\)