Sistema de ecuaciones: Método grafico

Se dibujan las dos rectas, la solución del sistema será el punto de corte de las dos funciones.

\(\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases} \)

\(2x+3y=7\hspace{1cm} rojo\)

\(5x-y=9\hspace{1cm} azul\)

Punto de corte P(2,1)

\(\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases} \)

\(x-2y=5\hspace{1cm} rojo\)

\(2x-3y=9\hspace{1cm} azul\)

Punto de corte Q(3,-1)

\(\bullet\begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases} \)

\(2x+y=7\hspace{1cm} rojo\)

\(5x-3y=1\hspace{1cm} azul\)

Punto de corte R(2,3)

\(\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases} \)

\(5x-2y=5\hspace{1cm} rojo\)

\(2x-3y=-9\hspace{1cm} azul\)

Punto de corte S(3,5)

\(\bullet\begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases} \)

\(2x+5y=-2\hspace{1cm} rojo\)

\(3x-2y=16\hspace{1cm} azul\)

Punto de corte T(4,-2)

Sistemas de ecuaciones: Método de reducción

En el método de reducción buscamos en una de los dos incógnitas que tengan el mismo coeficiente de signo contrario. Al sumar las dos ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita. Hallada ésta sustituimos como en los métodos anteriores

\(\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases} \) \(\xrightarrow[]{f_{2}'=3f_{2}}\) \(\begin{cases} 2x+3y=7\\ 15x-3y=27\end{cases}\rightarrow 17x=34\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(y=5\cdot2-9\)

\(\boxed{y=1}\)

\(\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases} \) \(\xrightarrow[]{f_{1}'=-2f_{1}}\) \(\begin{cases} -2x+4y=-10\\ 2x-3y=9\end{cases}\rightarrow y=-1\)

\(\boxed{y=-1}\)

Sustituimos

\(y=5-2\cdot1\)

\(\boxed{x=3}\)

\(\bullet\begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases} \) \(\xrightarrow[]{f_{1}'=3f_{1}}\) \(\begin{cases} 6x+3y=21\\ 5x-3y=1\end{cases}\rightarrow y=-1\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(y=7-2\cdot2\)

\(\boxed{y=3}\)

\(\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases} \) \(\xrightarrow[]{f_{1}'=-3f_{1};f_{2}'=2f_{2}}\) \(\begin{cases} -15x+6y=-15\\ 4x-6y=-18\end{cases}\rightarrow -11x=-33\)

\(\boxed{x=3}\)

Sustituimos

\(y=\dfrac {-9-2\cdot3} {-3}\)

\(\boxed{y=3}\)

\(\bullet\begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases} \) \(\xrightarrow[]{f_{1}'=2f_{1};f_{2}'=5f_{2}}\) \(\begin{cases} 4x+10y=-4\\ 15x-10y=80\end{cases}\rightarrow 19x=76\)

\(\boxed{x=4}\)

Sustituimos

\(y=\dfrac {-2-2\cdot4} {5}\)

\(\boxed{y=-2}\)

Sistemas de ecuaciones: Método de igualación

Para realizar el sistema por este método despejamos en las dos ecuaciones la misma variable e igualamos.
Al hallar la primera incógnita sustituimos y obtenemos la segunda. En los ejemplos siguientes lo veremos más claro.

\(\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases} \)

\(\begin{cases} y=\dfrac {7-2x} {3}\\ y=5x-9\end{cases} \)

\(\dfrac {7-2x} {3}=5x-9\)

\(7-2x=15x-27\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(y=5\cdot2-9\)

\(\boxed{y=1}\)

\(\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5+2y\\ x=\dfrac {9+3y} {2}\end{cases} \)

\(5+2y=\dfrac {9+3y} {2}\)

\(10+4y=9+3y\)

\(\boxed{y=-1}\)

Sustituimos

\(y=5-2\cdot1\)

\(\boxed{x=3}\)

\(\bullet \begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases} \)

\(\begin{cases} y=7-2\times \\ y=\dfrac {5x-1} {3}\end{cases} \)

\(7-2x=\dfrac {5x-1} {3}\)

\(21-6x=5x-1\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(y=7-2\cdot2\)

\(\boxed{y=3}\)

\(\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=\dfrac {5+2y} {5}\\ x=\dfrac {-9+3y} {2}\end{cases} \)

\(\dfrac {5+2y} {5}=\dfrac {-9+3y} {2}\)

\(10+4y=-45+15y\)

\(\boxed{y=5}\)

Sustituimos

\(x=\dfrac {5+2\cdot 5} {5}\)

\(\boxed{x=3}\)

\(\bullet \begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=\dfrac {-2-5y} {2}\\ x=\dfrac {16+2y} {3}\end{cases} \)

\(\dfrac {-2-5y} {2}=\dfrac {16+2y} {3}\)

\(-6-15y=32+4y\)

\(\boxed{y=-2}\)

Sustituimos

\(x=\dfrac {-2+5\cdot 2} {2}\)

\(\boxed{x=4}\)

Sistemas de ecuaciones: Método de sustitución

Despejamos en una ecuación una de las dos incógnitas, según nos convenga y la sustituimos en la otra ecuación. Nos quedará una ecuación con una sola incógnita. Hallada esta incógnita la sustituimos en una de la ecuaciones anteriores y tendremos halladas las dos incógnitas.

\(\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases} \)

\(\begin{cases} 2x+3y=7\\ y=5x-9\end{cases} \)

\(2x+3\left( 5x-9\right) =7\)

\(2x+15x=7+27\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(2\cdot2+3y=7\)

\(\boxed{y=1}\)

\(\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=5+2y\\ 2x-3y=9\end{cases} \)

\(2\left( 5+2y\right) -3y=9\)

\(10+4y-2y=9\)

\(\boxed{y=-1}\)

Sustituimos

\(x=5-2\cdot1\)

\(\boxed{x=3}\)

\(\bullet \begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases} \)

\(\begin{cases} y=7-2x \\ 5x-3y=1\end{cases} \)

\(5x-3\left( 7-2x\right) =1\)

\(\boxed{x=2}\)

Sustituimos

\(y=7-2\cdot2\)

\(\boxed{y=3}\)

\(\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=\dfrac {3y-9} {2}\\ 5x-2y=5\end{cases} \)

\(5\left( \dfrac {3y-9} {2}\right) -2y=5\)

\(\dfrac {15y-45} {2}-2y=5\)

\(15y-45-4y=10\)

\(\boxed{y=5}\)

Sustituimos

\(x=\dfrac {15-9} {2}\)

\(\boxed{x=3}\)

\(\bullet \begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases} \)

\(\begin{cases} x=\dfrac {-2-5y} {2}\\ 3x-2y=16\end{cases} \)

\(3\left( \dfrac {-2-5y} {2}\right) 2y=16\)

\(\dfrac {-6-15y} {2}-2y=16\)

\(-6-15y-4y=32\)

\(\boxed{y=-2}\)

Sustituimos

\(x=\dfrac {-2+5\cdot2} {2}\)

\(\boxed{x=4}\)