Área lateral,total y volumen de un prisma

Área lateral total de un prisma: Es la suma de todas las superficies laterales. Si la base del prisma es un polígono regular se multiplicara una superficie lateral por el número de lados de la base.
$$\boxed{A_{LT}=nA_{L}}$$

Área total: Es igual al área lateral más 2 veces el área de la base.
$$\boxed{A_{T}=A_{LT}+2A_{B}}$$

Volumen de un prisma regular: Es igual a la superficie de la base por la altura del prisma
$$\boxed{V=A_{B}\cdot h}$$

Ejercicios de prismas:

1) Un prisma de base de cuadrangular regular de arista básica $5m$ y altura $9m$. Cálcular el área total y el volumen del prisma.

$A_{LT}=4\cdot A_{L}$

$A_{L}=b\cdot h=9 m\cdot 5 m=45m^2$

$A_{LT}=4\cdot 45 m^2=180 m^2$

$\boxed{A_{LT}=180 m^2}$

$A_{b}=l^2=25m^2$

$A_{T}=A_{LT}+2\cdot A_{b}$

$A_{T}=180m^2+2\cdot 25m^2$

$\boxed{A_{T}=230m^2}$

$V=A_{b}\cdot h=25m^2\cdot 9 m=225m^3$

$\boxed{V=225m^3}$

2) Un prisma cuya base es un triángulo rectángulo de lados 3m, 4m y 5m. La altura del prisma es de 9 m.
Cálcular el área total y el volumen del prisma.

$A_{LT}=3\cdot 9+4\cdot 9+5\cdot 9=108m^2$

$\boxed{A_{LT}=108 m^2}$

$A_{b}=\dfrac {1} {2}b\cdot h=\dfrac {1} {2}\cdot 3\cdot 4=6m^{2}$

$A_{T}=A_{LT}+2\cdot A_{b}$

$A_{T}=108m^2+2\cdot 6m^2$

$\boxed{A_{T}=120m^2}$

$V=A_{b}\cdot h=6m^2\cdot 9 m=45m^3$

$\boxed{V=45m^3}$

Función afín

La función afín es aquella que tiene por ecuación $y=mx+n$. Al coeficiente $m$ se le llama pendiente y a $n$ se le llama ordenada en el origen.

Su gráfica es una linea recta

Para calcular la ecuación de una función afín es necesaria dos puntos para calcular la pendiente.

$$m=\dfrac {y_{P}-y_{Q}} {x_{P}-x_{Q}}$$

Después se calcula el origen en la ordenada se sustituye en $y=mx+n$ los valores de un punto de la recta.

Se verá mas claro en los ejemplos

$\bullet P(2,5) \hspace{1cm} Q(3,8)$

$m=\dfrac {2-3} {5-8}=\dfrac {1} {3}$

$y=\dfrac {1} {3}x+n$

Sustituyendo las coordenadas del punto P

$5=\dfrac {2} {3}+n$

$n=\dfrac {13} {3}$

$\boxed{y=\dfrac {1} {3}x+\dfrac {13} {3}}$

$\bullet P(-3,6) \hspace{1cm} Q(-2,3)$

$m=\dfrac {6-3} {-3-\left( -2\right) }=-3$

$y=-3x+n$

Sustituyendo las coordenadas del punto P

$6=-3\left( -3\right) +n$

$n=-3$

$\boxed{y=-3x-3}$

$\bullet P(1,3) \hspace{1cm} Q(-2,-3)$

$m=\dfrac {3-\left( -3\right) } {1-\left( -2\right) }=2$

$y=2x+n$

Sustituyendo las coordenadas del punto P

$3=2\cdot 1+n$

$n=1$

$\boxed{y=2x+1}$

$\bullet P(5,3) \hspace{1cm} Q(2,1)$

$m=\dfrac {3-1} {5-2}=\dfrac {2} {3}$

$y=\dfrac {2} {3}x+n$

Sustituyendo las coordenadas del punto P

$3=\dfrac {2} {3}+n$

$n=\dfrac {-1} {3}$

$\boxed{y=\dfrac {2} {3}x-\dfrac {1} {3}}$

$\bullet P(-2,-5) \hspace{1cm} Q(-1,4)$

$m=\dfrac {-5-4} {-2-\left( -1\right) }=\dfrac {-9} {-1}=9$

$y=9x+n$

Sustituyendo las coordenadas del punto P

$-5=-18+n$

$n=13$

$\boxed{y=9x+13}$

Si tenéis alguna duda, postead un comentario o mandad un correo a mates4al@gmail.com

Función lineal o función de proporcionalidad.

Son aquellas funciones que pasan por el origen (0,0) por lo tanto para hallar la función sólo necesitaremos un punto perteneciente a ella. La formula de la función son de este tipo $y=mx$. La pendiente de la función es m. $m=\dfrac {y} {x}$

La roja es $y=3x$ La pendiente $m=3$

La azul es $y=x$ La pendiente $m=1$

La verde es $y=\dfrac {1} {3}x$ La pendiente es $m=\dfrac {1} {3}$

Varios ejemplos del calculo de la función lineal dado un punto que pasa por ella.

Dado un punto de la función lineal hallar la expresión.

$\bullet P(2,10)$

$m=\dfrac {y} {x}=\dfrac {10} {2}=5$

$\boxed{y=5x}$

$\bullet Q(-1,3)$

$m=\dfrac {y} {x}=\dfrac {3} {-1}=-3$

$\boxed{y=-3x}$

$\bullet Q(-9,-3)$

$m=\dfrac {y} {x}=\dfrac {-3} {-9}=\dfrac {1} {3}$

$\boxed{y=\dfrac {1} {3}x}$

$\bullet Q(-2,8)$

$m=\dfrac {y} {x}=\dfrac {8} {-2}=-4$

$\boxed{y=-4x}$

Sistema de ecuaciones: Método grafico

Se dibujan las dos rectas, la solución del sistema será el punto de corte de las dos funciones.

$\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases}$

$2x+3y=7\hspace{1cm} rojo$

$5x-y=9\hspace{1cm} azul$

Punto de corte P(2,1)

$\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases}$

$x-2y=5\hspace{1cm} rojo$

$2x-3y=9\hspace{1cm} azul$

Punto de corte Q(3,-1)

$\bullet\begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases}$

$2x+y=7\hspace{1cm} rojo$

$5x-3y=1\hspace{1cm} azul$

Punto de corte R(2,3)

$\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases}$

$5x-2y=5\hspace{1cm} rojo$

$2x-3y=-9\hspace{1cm} azul$

Punto de corte S(3,5)

$\bullet\begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases}$

$2x+5y=-2\hspace{1cm} rojo$

$3x-2y=16\hspace{1cm} azul$

Punto de corte T(4,-2)

Sistemas de ecuaciones: Método de reducción

En el método de reducción buscamos en una de los dos incógnitas que tengan el mismo coeficiente de signo contrario. Al sumar las dos ecuaciones nos queda una ecuación con una sola incógnita. Hallada ésta sustituimos como en los métodos anteriores

$\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases}$ $\xrightarrow[]{f_{2}'=3f_{2}}$ $\begin{cases} 2x+3y=7\\ 15x-3y=27\end{cases}\rightarrow 17x=34$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$y=5\cdot2-9$

$\boxed{y=1}$

$\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases}$ $\xrightarrow[]{f_{1}'=-2f_{1}}$ $\begin{cases} -2x+4y=-10\\ 2x-3y=9\end{cases}\rightarrow y=-1$

$\boxed{y=-1}$

Sustituimos

$y=5-2\cdot1$

$\boxed{x=3}$

$\bullet\begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases}$ $\xrightarrow[]{f_{1}'=3f_{1}}$ $\begin{cases} 6x+3y=21\\ 5x-3y=1\end{cases}\rightarrow y=-1$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$y=7-2\cdot2$

$\boxed{y=3}$

$\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases}$ $\xrightarrow[]{f_{1}'=-3f_{1};f_{2}'=2f_{2}}$ $\begin{cases} -15x+6y=-15\\ 4x-6y=-18\end{cases}\rightarrow -11x=-33$

$\boxed{x=3}$

Sustituimos

$y=\dfrac {-9-2\cdot3} {-3}$

$\boxed{y=3}$

$\bullet\begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases}$ $\xrightarrow[]{f_{1}'=2f_{1};f_{2}'=5f_{2}}$ $\begin{cases} 4x+10y=-4\\ 15x-10y=80\end{cases}\rightarrow 19x=76$

$\boxed{x=4}$

Sustituimos

$y=\dfrac {-2-2\cdot4} {5}$

$\boxed{y=-2}$

Sistemas de ecuaciones: Método de igualación

Para realizar el sistema por este método despejamos en las dos ecuaciones la misma variable e igualamos.
Al hallar la primera incógnita sustituimos y obtenemos la segunda. En los ejemplos siguientes lo veremos más claro.

$\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases}$

$\begin{cases} y=\dfrac {7-2x} {3}\\ y=5x-9\end{cases}$

$\dfrac {7-2x} {3}=5x-9$

$7-2x=15x-27$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$y=5\cdot2-9$

$\boxed{y=1}$

$\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases}$

$\begin{cases} x=5+2y\\ x=\dfrac {9+3y} {2}\end{cases}$

$5+2y=\dfrac {9+3y} {2}$

$10+4y=9+3y$

$\boxed{y=-1}$

Sustituimos

$y=5-2\cdot1$

$\boxed{x=3}$

$\bullet \begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases}$

$\begin{cases} y=7-2\times \\ y=\dfrac {5x-1} {3}\end{cases}$

$7-2x=\dfrac {5x-1} {3}$

$21-6x=5x-1$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$y=7-2\cdot2$

$\boxed{y=3}$

$\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases}$

$\begin{cases} x=\dfrac {5+2y} {5}\\ x=\dfrac {-9+3y} {2}\end{cases}$

$\dfrac {5+2y} {5}=\dfrac {-9+3y} {2}$

$10+4y=-45+15y$

$\boxed{y=5}$

Sustituimos

$x=\dfrac {5+2\cdot 5} {5}$

$\boxed{x=3}$

$\bullet \begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases}$

$\begin{cases} x=\dfrac {-2-5y} {2}\\ x=\dfrac {16+2y} {3}\end{cases}$

$\dfrac {-2-5y} {2}=\dfrac {16+2y} {3}$

$-6-15y=32+4y$

$\boxed{y=-2}$

Sustituimos

$x=\dfrac {-2+5\cdot 2} {2}$

$\boxed{x=4}$

Sistemas de ecuaciones: Método de sustitución

Despejamos en una ecuación una de las dos incógnitas, según nos convenga y la sustituimos en la otra ecuación. Nos quedará una ecuación con una sola incógnita. Hallada esta incógnita la sustituimos en una de la ecuaciones anteriores y tendremos halladas las dos incógnitas.

$\bullet\begin{cases} 2x+3y=7\\ 5x-y=9\end{cases}$

$\begin{cases} 2x+3y=7\\ y=5x-9\end{cases}$

$2x+3\left( 5x-9\right) =7$

$2x+15x=7+27$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$2\cdot2+3y=7$

$\boxed{y=1}$

$\bullet\begin{cases} x-2y=5\\ 2x-3y=9\end{cases}$

$\begin{cases} x=5+2y\\ 2x-3y=9\end{cases}$

$2\left( 5+2y\right) -3y=9$

$10+4y-2y=9$

$\boxed{y=-1}$

Sustituimos

$x=5-2\cdot1$

$\boxed{x=3}$

$\bullet \begin{cases} 2x+y=7\\ 5x-3y=1\end{cases}$

$\begin{cases} y=7-2x \\ 5x-3y=1\end{cases}$

$5x-3\left( 7-2x\right) =1$

$\boxed{x=2}$

Sustituimos

$y=7-2\cdot2$

$\boxed{y=3}$

$\bullet\begin{cases} 5x-2y=5\\ 2x-3y=-9\end{cases}$

$\begin{cases} x=\dfrac {3y-9} {2}\\ 5x-2y=5\end{cases}$

$5\left( \dfrac {3y-9} {2}\right) -2y=5$

$\dfrac {15y-45} {2}-2y=5$

$15y-45-4y=10$

$\boxed{y=5}$

Sustituimos

$x=\dfrac {15-9} {2}$

$\boxed{x=3}$

$\bullet \begin{cases} 2x+5y=-2\\ 3x-2y=16\end{cases}$

$\begin{cases} x=\dfrac {-2-5y} {2}\\ 3x-2y=16\end{cases}$

$3\left( \dfrac {-2-5y} {2}\right) 2y=16$

$\dfrac {-6-15y} {2}-2y=16$

$-6-15y-4y=32$

$\boxed{y=-2}$

Sustituimos

$x=\dfrac {-2+5\cdot2} {2}$

$\boxed{x=4}$

Ecuaciones de segundo grado incompletas

Son aquellas ecuaciones de segundo grado en las que $b=0$ y/o $c=0$

Aquí os dejo un ejemplo de cada tipo.

$\bullet\ x^{2}=25$ $b=0$ y $c\neq 0$

$\boxed{x=\pm 5}$

$\bullet\ x^{2}-3x=0$ $b\neq 0$ y $c=0$

$\boxed{x_{1}=0 ; x_{2}=3}$

$\bullet\ 5x^{2}=0$ $b=0$ y $c=0$

$\boxed{x=0}$

Si tenéis alguna duda sobre algún tipo de ejercicio, no dudéis en comentar.