Problemas de regla de tres simple

Aquí os dejo cuatro ejemplos de regla de tres simple

Si 50 kg. de naranjas cuestan 40 €. ¿Cuánto costarán 10 kg de naranjas?

\[\left .\begin{matrix}50\ \ kg\ \ de\ \ naranjas & \longrightarrow & 40\ \ € \\ & & \\10\ \ kg\ \ de\ \ naranjas & \longrightarrow  & x \end{matrix}\right \} \left .\begin{matrix}& & \\ & x=\dfrac {40€\cdot 10kg} {50kg}=8€ & \\ & & \end{matrix}\right .\]

Si un coche consume 20 litros para recorrer 300 km ¿Cuántos litros consumirá a los 100 kilómetros?

\[\left .\begin{matrix}20\ \ litros\ \ de\ \ gasolina & \longrightarrow & 300\ \ km \\ & & \\ x & \longrightarrow  & 100\ \ km \end{matrix}\right \} \left .\begin{matrix}& & \\ & x=\dfrac {100km\cdot 20l} {300km}=6,67\ \ l & \\ & & \end{matrix}\right .\]

Para construir un parque 15 operarios tardan 400 días. Si lo quisiéramos en 200 días ¿Cuántos operarios necesitaríamos?

\[\left .\begin{matrix}15\ \ operarios & \longrightarrow & 400\ \ días \\ & & \\ x & \longrightarrow  & 200\ \ días \end{matrix}\right \} \left .\begin{matrix}& & \\ & x=\dfrac {15\ \ operarios\cdot 400\ \ días} {200\ \ días}= 30\ \ operarios & \\ & & \end{matrix}\right .\]

Sí un coche va a 50 km/h ¿Cuánto tardará en hacer 300 km?

\[\left .\begin{matrix}50\ \ km & \longrightarrow & 1\ \ h \\ & & \\ 300\ \ km & \longrightarrow  & x \end{matrix}\right \} \left .\begin{matrix}& & \\ & x=\dfrac {300\ \ km\cdot 1\ \ hora} {50\ \ km}=6\ \ horas & \\ & & \end{matrix}\right .\]

Si tenéis alguna no dudéis en preguntarme

Números fraccionarios: Potencias, raíces y potencias

Aquí os dejo más ejercicios de números fraccionarios con sus potencias y raíces.

\(\bullet\dfrac {1} {5^{3}}\cdot5^{-4}-25=\)

\(\ \ =5^{-3}\cdot 5^{-4}\cdot 5^{2}=\)

\(\ \ =5^{-3-4+2}=\)

\(\ \ =5^{-5}=\boxed{\dfrac {1} {5^{5}}}\)

\(\bullet\left( \dfrac {2} {5}\right) ^{0}\cdot \left( \dfrac {5} {2}\right) ^{4}\cdot \left( \dfrac {-5} {2}\right) ^{4}\cdot \left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-4}=\)

\(\ \ =1\cdot \left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-4}\cdot \left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-4}\cdot \left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-4}=\)

\(\ \ =\left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-4-4-4}=\)

\(\ \ =\left( \dfrac {2} {5}\right) ^{-12}=\boxed{\left( \dfrac {5} {2}\right) ^{12}}\)

\(\bullet\left( \dfrac {3} {6}\right) ^{4}\cdot \left( \dfrac {5} {10}\right) ^{4}2^{-1}=\)

\(\ \ =\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{4}\cdot \left( \dfrac {1} {2}\right) ^{4}\cdot \dfrac {1} {2}=\)

\(\ \ =\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{4+4+1}=\boxed{\left( \dfrac {1} {2}\right) ^{9}}\)

\(\bullet\sqrt [12] {25}\sqrt [6] {5}\cdot \dfrac {1} {25}.5^{3}=\)

\(\ \ =5^{2 / 12}\cdot5^{2 / 12}\cdot5^{-2}\cdot 5^{3}=\)

\(\ \ =5^{1 / 6+1 / 6-2+3}=5^{4/3}=\boxed{5\sqrt [3] {5}}\)

\(\bullet\ 8^{5}\cdot \dfrac {1} {24}\dfrac {192} {\left( 5^{2}\right) ^{-1}}\cdot \dfrac {5^{2}} {2^{5}}\cdot \dfrac {1} {\left( -2\right) ^{4}}=\)

\(\ \ =\dfrac {2^{15}\cdot 2^{6}\cdot \enclose{updiagonalstrike}{3}\cdot \enclose{updiagonalstrike}{5^{-2}}} {2^{3}\cdot \enclose{updiagonalstrike}{3}\cdot \enclose{updiagonalstrike}{5^{-2}}\cdot 2^{5}\cdot 2^{4}}=\)

\(\ \ =2^{15+6-3-5-4}=\boxed{2^{9}}\)

Bueno ya sabéis si queréis un ejercicio en particular, poned un mensaje en los comentarios.

Números enteros: Potencias, raíces y paréntesis.

Aquí os dejos unos ejercicios con potencias raíces y paréntesis.

En este post podéis ver las reglas de las potencias

http://mates4al.blogspot.com.es/2014/02/opereaciones-combinadas-potencias-y.html

\(\bullet\left( -12\right) :\left[ -3^{2}+\left( -2\right) \left( -5\right) \right] -2+\sqrt {25}=\)

\(\ \ =\left( -12\right) :\left[ -9+\left( -2\right) \left( -5\right) \right] -2+5=\)

\(\ \ =\left( -12\right) :\left[ -9+10\right] -2+5=\)

\(\ \ =\left( -12\right) :1-2+5=\)

\(\ \ =-12-2+5=\boxed{-9}\)

\(\bullet\left[ 2^{4}\cdot 2^{5}\right] ^{0}+\sqrt {49}-\sqrt {36}=\)

\(\ \ =\left[ 2^{9}\right] ^{0}+7-6=\)

\(\ \ =1+7-6=\boxed2\)

\(\bullet\sqrt [3] {10^{6}}+\left( 5-3\right) ^{2}-2^{2}\cdot 2^{0}\cdot 2^{4}=\)

\(\ \ =10^{2}+2^{2}-2^{6}=\)

\(\ \ =100+4-64=\boxed{40}\)

\(\bullet\ 3^{7}\cdot 3^{-5}\cdot 3^{10}\cdot 3^{0}\cdot 3^{-2}\cdot 3^{-6}=\)

\(\ \ =3^{7-5+10+0-2-6}=\)

\(\ \ =3^{4}=\boxed{81}\)

\(\bullet \sqrt {1-5\left( -7\right) }-\left[ -3+36:3-5\right] =\)

\(\ \ =\sqrt {36}-\left[ -3+12-5\right] =\)

\(\ \ =6-4=\boxed2\)

Si tenéis alguna duda, dejad vuestro comentario

Número enteros: Operaciones con paréntesis

Lo que primero se debe hacer es realizar las multiplicaciones o divisiones el interior de los paréntesis.

Después las sumas o restas dentro de los paréntesis

Luego corchetes, llaves, si los hubiera, etc.

\(\bullet -3-\left( -5+3\right) -\left( -6+4\right) =\)

\(\ \ = -3-\left( -2\right) -\left( -2\right) =\)

\(\ \ =-3+2+2=\boxed1\)

\(\bullet -4-5-\left[ 7-\left( 3-2\right) \right] =\)

\(\ \ =-4-5-\left[ 7-1\right] =\)

\(\ \ =-4-5-6=\boxed{-15}\)

\(\bullet -3\left[ 2\left( -4+6\right) -1\right] -3\left[ 2-5\left( 2+1\right) \right] =\)

\(\ \ =-3\left[ 2\cdot 2-1\right] -3\left[ 2-5\cdot 3\right] =\)

\(\ \ =-3\left[ 4-1\right] -3\left[ 2-15\right] =\)

\(\ \ =-3\cdot 3-3\cdot 13=\)

\(\ \ =-9-39=\boxed{-48}\)

\(\bullet -2\left( -2\right) \left( -3\right) -\left[ \left( -5\right) \left( 1-3\right) \right] =\)

\(\ \ =-2\cdot 6-\left[ \left( -5\right) \left( -2\right) \right] =\)

\(\ \ =-12-10=\boxed{-22}\)

\(\bullet -5-\left[ \left( -2\right) \left( -3\right) \left( -1\right) +3\right] :\left( -3\right) =\)

\(\ \ =-5-\left[ -6+3\right] :\left( -3\right) =\)

\(\ \ =-5-\left( -3\right) :\left( -3\right) =\)

\(\ \ =-5-1=\boxed{-6}\)

Si tenéis alguna duda de cualquier tipo de dejad un mensaje.

Yahoo Answers 9 de Marzo 2014

Aquí os dejo las soluciones de hoy

\(y=2x-5\)

\(y=-x^2+6x-5\)

\(y=-\dfrac {1} {2}x^{2}-2x+6\)

\(y=\sqrt {4-3x^{2}}\)

\(y=x^{3}+2x^{2}-1\)

Si tenéis alguna duda, podéis hacer un comentario al post

Trapecios y trapezoide

Los trapecios son aquellos cuadriláteros  que tienen dos lados paralelos uno más grande (base mayor B) y otro más pequeño (base menor b)

- Trapecio rectángulo: Es aquel trapecio que tiene un ángulo recto \(\alpha=90^{\circ}\)

\[\boxed{P=B+b+h+c}\]

\[\boxed{S=\dfrac {B+b} {2}\cdot h}\]





- Trapecio isósceles: es aquel trapecio que tiene dos lados iguales

\[\boxed{P=2\cdot a+B+b}\]

\[\boxed{S=\dfrac {B+b} {2}\cdot h}\]





- Trapecio escaleno: es aquel trapecio que no tiene lados ni ángulos internos iguales.

\[\boxed{P=a+c+B+b}\]

\[\boxed{S=\dfrac {B+b} {2}\cdot h}\]




El trapezoide es el cuadrilátero que no tiene lados iguales ni paralelos

\[\boxed{P=a+b+c+d}\]
\[\boxed{S= Suma\ \ triángulos}\]









\(\bullet\) Calcular la superficie y el perímetro del trapecio rectágulo de base mayor 9 cm, base menor 5 cm. y lado oblicuo de 5 cm.

\(h^{2}=c^{2}-\left( B-b\right) ^{2}\)

\(h^{2}=5^{2}-4^{2}=25-16=9\)

\(h=3cm\)

\(P=B+b+h+c=9cm+5cm+3cm+5m=22cm\)

\(S=\dfrac {B+b} {2}\cdot h=\dfrac {9+5} {2}\cdot 5cm^{2}=7\cdot 5m^{2}=35cm^{2}\)

\(\boxed{P=22cm}\)

\(\boxed{S=35cm^{2}}\)

\(\bullet\) Calcular la superficie y el perímetro del trapecio isósceles de base mayor 21 m, base menor 15 m. y altura  5m.

\(a^{2}=h^{2}+c ^{2}\)

\(a^{2}=5^{2}+3^{2}=25+9=34\)

\(a=5,83m\)

\(P=2\cdot a+B+b=2\cdot 2,83m+21m+15m=47,66m\)

\(S=\dfrac {B+b} {2}\cdot h=\dfrac {21+15} {2}\cdot 5m^{2}=18\cdot 5m^{2}=90m^{2}\)

\(\boxed{P=47,66m}\)

\(\boxed{S=90m^{2}}\)

Yahoo answers 7 de marzo

Aqui tienes la gráfica \(f\left( x\right) =\dfrac {x^{2}-x-2} {x^{3}-8x^{2}-21x-20}\)

Aquí tienes la gráfica \(f\left( x\right) =\dfrac {x^{2}-3} {x^{3}}\)

Si tenéis alguna duda no olvidéis en comentar

Respuestas Yahoo answers 6 de Marzo 2014

Aquí tenéis las soluciones a vuestros ejercicios


Hallar coordenadas cartesianas

\(\bullet e^{3\pi +i}=\cos 3\pi +i\sin 3\pi=-1+0i\)

\(\bullet e^{2\pi +i}=\cos 2\pi+i\sin 2\pi=1+0i\)

\(\bullet \dfrac {1} {2}e^{-3\pi i/4}=\dfrac {1} {2}\left[ \cos \left( -\dfrac {3} {4}\pi \right) +i\sin \left( -\dfrac {3} {4}\pi \right) \right] =\dfrac {-\sqrt {2}} {4}-\dfrac {\sqrt {2}} {4}i\)

\(\bullet \sqrt {2}e^{-\pi i /{4}}=\sqrt {2}\left[ \cos \left( -\dfrac {\pi } {4}\right) +i\sin \left( -\dfrac {\pi} {4}\right) \right] =1-i\)

Hallar la ecuación

\(\bullet \sqrt [5] {x^{2}}\cdot x^{-7/5}=7\)

\(x^{2 / 5}\cdot x^{-7 / 5}=7\)

\(x^{-5 / 5}=7\)

\(x^{-1}=7\)

\(\boxed{x=\dfrac {1} {7}}\)

\(\bullet \dfrac {x\cdot x^{-1 / 2}} {x^{1/3}}=\dfrac {1} {2}\)

\(x^{1-1 / 2-1 / 3}=\dfrac {1} {2}\)

\(x^{1 / 6}=\dfrac {1} {2}\)

\(x=\dfrac {1} {2^{6}}=\dfrac {1} {64}\)

\(\boxed{x=\dfrac {1} {64}}\)

\(\bullet \dfrac {x^{3/2}\cdot x^{-3/5}} {x}=\dfrac {1} {3}\)

\(x^{3/2 -3/5-1}=\dfrac {1} {3}\)

\(x^{-1/10}=\dfrac {1} {3}\)

\(x=\left( \dfrac {1} {3}\right) ^{-10}=3^{10}\)

\(\boxed{x=3^{10}}\)

Sistemas de ecuaciones

\(\begin{cases} 5x & -2y & = & 8 \\ & & & \\ 3x & -4y & = & -6\end{cases}\) \(\xrightarrow[]{-2\cdot f_{1}}\) \(\begin{cases} -10x & 4y & = & -16 \\ & & & \\ 3x & -4y & = & -6\end{cases}\)

\[7x=-22\]
\[\boxed{x=\dfrac {22} {7}}\]
\[-4y=-\dfrac {66} {7}-6\]
\[4y= \dfrac {108} {7}\]
\[\boxed{x=\dfrac {27} {7}}\]

\(\begin{cases} 3x & y & = & 4 \\ & & & \\ 2x & 4y & = & 16\end{cases}\) \(\xrightarrow[]{-4\cdot f_{1}}\) \(\begin{cases} -12x & -4y & = & -16 \\ & & & \\ 2x & 4y & = & 16\end{cases}\)

\[-10x=0\]
\[\boxed{x=0}\]
\[\boxed{y=4}\]

Paralelogramos: Cuadrado, rectángulo, rombo y romboide

Los paralelogramos son los cuadriláteros (polígono de cuatro lados) que tienen los lados paralelos dos a dos

\(\bullet\) Cuadrado: Es el paralelogramo cuyos cuatro lados son iguales y sus cuatro ángulos internos son rectos, 90º.

\[\boxed{P=4\cdot l}\]

\[\boxed{S=l^{2}}\]







\(\bullet\) Rectángulo: Es el pararelogramo cuyo cuatro ángulos internos son rectos y los lados opuestos son iguales.

\[\boxed{P=2\cdot a+2\cdot b}\]

\[\boxed{S=a\cdot b}\]

\(\bullet\) Rombo: Es el paralelogramo cuyos lados son iguales en longitud y los ángulos internos opuestos son iguales.

\[\boxed{P=4\cdot l}\]


\[\boxed{S=\dfrac {D\cdot d} {2}}\]







\(\bullet\) Romboide: es el paralelogramo cuyos lados opuestos son iguales y los ángulos internos opuestos son iguales.

Unos ejercicios de paralelogramos.

\(\bullet\) Si la diagonal de un cuadrado es 4 m calcular la superficie y el perímetro del cuadrado.

\(L^{2}+L^{2}=4^{2}\)

\(2L^{2}=16\)

\(L^{2}=8\)

\(L=\sqrt {8}=2,83m\)

\(P=4L=4\cdot 2,83m=11,32m\)

\(S=l^{2}=\left( \sqrt {8}\right) ^{2}=8m^{2}\)

\(\boxed{P=11,32m}\)

\(\boxed{S=8m^{2}}\)

\(\bullet\) Si la diagonal de un rectángulo es 8 cm calcular la superficie y el perímetro del rectángulo.

\(b^{2}+a^{2}=d^{2}\)

\(b^{2}+4^{2}=8^{2}\)

\(b^{2}=64-16=48\)

\(b=\sqrt {48}=6,43cm\)

\(P=2\cdot a+2\cdot b=2\cdot 4 cm + 2\cdot 6,43cm=21,86cm\)

\(S=a\cdot b=4cm\cdot 6,43cm=27,71cm^{2}\)

\(\boxed{P=21,86cm}\)

\(\boxed{S=27,71cm^{2}}\)

\(\bullet\) Si el lado de un rombo es 6 m y una diagonal 8 m Calcular la superficie y el perímetro del
rombo.

\(P=4L=4\cdot 6 m=24 m\)

\(\left( \dfrac {D} {2}\right) ^{2}+\left( \dfrac {d} {2}\right) ^{2}=L^{2}\)

\(\dfrac {D^{2}} {4}+4^{2}=6^{2}\)

\(\dfrac {D^{2}} {4}=36-16\)

\(D^{2}=80\)

\(D=\sqrt {80}=8,94m\)

\(S=\dfrac {D\cdot d} {2}=\dfrac {8,94m\cdot 8m} {2}=35,76m^{2}\)

\(\boxed{P=24m}\)

\(\boxed{S=35,76m^{2}}\)

Sí tenéis alguna duda, dejad un comentario

Superficie del sector circular y longitud de su arco

El sector circular es una porción de circulo limitada por dos radios.

La superficie es igual a la del circulo \(\pi\cdot r^{2}2\) multiplicado por el ángulo en grados que forman los radios \(\alpha\) y dividido entre 360º

La longitud del arco sera la de lacircunferencia \(2\cdot \pi\cdot r\) por el numero de grados \(\alpha\)
y dividido entre 360º

  \[\boxed{S=\dfrac {\pi \cdot r^{2}\cdot \alpha ^{\circ }} {360^{\circ }}}\]

\[\boxed{L=\dfrac {2\cdot \pi \cdot r.\alpha
^{\circ }} {360^{\circ}}}\]



Calcular los siguientes superficies del sector circular y la longitud del arco del sector.

a) \(r= 2m\)  \(\alpha=30º\)

\(S=\dfrac {\pi r^{2}\alpha } {360}=\dfrac {30^{\circ }\cdot 2^{2}\pi m^{2}} {360^{\circ }}\simeq 1,05m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 1,05m^{2}}\)

\(L=\dfrac {2\pi r\cdot \alpha ^{\circ }} {360^{\circ }}=\dfrac {2\cdot2\cdot 30^{\circ }\pi m} {360^{\circ }}\simeq 1,05m\)

\(\boxed{L\simeq 1,05m}\)

b) \(r= 5m\)  \(\alpha=45º\)

\(S=\dfrac {\pi r^{2}\alpha } {360}=\dfrac {45^{\circ }\cdot 5^{2}\pi m^{2}} {360^{\circ }}\simeq 9,82m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 9,82m^{2}}\)

\(L=\dfrac {2\pi r\cdot \alpha ^{\circ }} {360^{\circ }}=\dfrac {2\cdot 5\cdot 45^{\circ }\pi m} {360^{\circ }}\simeq 0,39m\)

\(\boxed{L\simeq 0,39m}\)

Si tenéis algun duda, dejad un mensaje

Área de una corona circular

Una corona circular es el área delimitada por dos circunferencias de distinto radio y mismo centro (concéntricas). Siendo R (Radio de la mayor circunferencia) y r (Radio de la menor circunferencia).

\(S=\pi \left( R^{2}-r^{2}\right) \)







Dos ejercicios de coronas circulares.

Hallar el área de una corona circular cuyas circunferencias tienen un radio de 5 m y 4 m.

\(S=\pi \left( R^{2}-r^{2}\right) \)

\(S=\pi\left( 5^{2}-4^{2}\right) m^{2}=\pi\left( 25-16\right) m^{2}=9\pi m^{2}\simeq 28,27m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 28,27m^{2}}\)

Hallar el área de una corona circular cuyas circunferencias tienen un radio de 10 m y 2 m.

\(S=\pi \left( R^{2}-r^{2}\right) \)

\(S=\pi\left( 10^{2}-2^{2}\right) m^{2}=\pi\left( 100-4\right) m^{2}=96\pi m^{2}\simeq 301,59m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 301,59m^{2}}\)

Longitud de una circunferencia y área de un círculo

La circunferencia es una curva cerrada cuyos puntos están a la misma distancia del centro, que llamaremos radio.

La longitud de la circunferencia es igual dos veces el radio por \(\pi\) , o el diámetro por \(\pi\)

\[L=2\cdot \pi\cdot r=\pi\cdot D\]

El área de un círculo que es la superficie delimitada por una circunferencia es igual a:

\[S=\pi \cdot r^{2}=\dfrac {\pi \cdot D^{2}} {4}\]

Aquí os dejo unos ejercicios de circunferencias y círculos.

Calcular la longitud de la circunferencia y superficie del círculo.

\(\bullet\ \ R=4cm\)

\(L=2\cdot \Pi \cdot r=2\pi \cdot 4cm=8\pi cm\simeq 25,13cm\)

\(\boxed{L\simeq 25,13 cm}\)

\(S=\pi \cdot r^{2}=4^{2}\pi cm^{2}=16\pi cm^{2}\simeq 50,27cm^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 50,27 cm^{2}}\)

\(\bullet\ \ D=5m\)

\(L=\pi \cdot D=5\pi m\simeq 15,71m\)

\(\boxed{L\simeq 15,71 m}\)

\(S=\dfrac {\pi\cdot D^{2}} {4}=\dfrac {5^{2}} {4}\pi m^{2}=6,25\pi m^{2}\simeq 19,63m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 19,63 m^{2}}\)

\(\bullet\ \ R=7cm\)

\(L=2\cdot \Pi \cdot r=2\pi \cdot 7cm=14\pi cm\simeq 43,98cm\)

\(\boxed{L\simeq 43,98 cm}\)

\(S=\pi \cdot r^{2}=4^{2}\pi cm^{2}=16\pi cm^{2}\simeq 50,27cm^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 50,27 cm^{2}}\)

\(\bullet\ \ D=1m\)

\(L=\pi \cdot D=\pi m\simeq 3,14m\)

\(\boxed{L\simeq 3,14 m}\)

\(S=\dfrac {\pi\cdot D^{2}} {4}=\dfrac {1^{2}} {4}\pi m^{2}\simeq 0,79m^{2}\)

\(\boxed{S\simeq 0,79 m^{2}}\)

Si queréis más problemas de circunferencias y círculos los podéis pedir en los comentarios

Perimetro y superficie de un triángulo

El perimetro de una figura geométrica es la suma de la longitud de todos sus lados. En el caso de los triángulos tenemos las siguientes fórmulas

\(\bullet \ \ Escaleno\ P= a+b+c\)

\(\bullet \ \ Isósceles\ \ P= 2a+b\)

\(\bullet \ \ Equilátero\ \ P=3\cdot l\)

La superficie de un triángulo es la mitad del producto de la base por la altura del vértice opuesto a la base.

\(\boxed{S=\dfrac {b\cdot h} {2}}\)







\(\bullet\) Calcular el perímetro y la superficie de los siguientes triángulos.

a) Un triángulo equilátero de lado 3 m :

\(P=3\cdot l=3\cdot 3m=9m\)

\(\boxed{P=9m}\)

\(h=\sqrt {3^{2}-1,5^{2}}=2,60m\)

\(S=\dfrac {b\cdot h} {2}=\dfrac {3m\cdot 2,60m} {2}=3,90m^{2}\)

\(\boxed{S=3,90m^{2}}\)


b) Un triángulo isósceles de lados iguales 5 cm y base 2 cm:

\(P=b+2a=2cm+2\cdot 5cm=12cm\)

\(h=\sqrt {5^{2}-1^{2}}=\sqrt {24}=4,9m\)

\(S=\dfrac {b\cdot h} {2}=\dfrac {2cm\cdot 4,9cm} {2}=4cm^{2}\)

\(\boxed{P=4,9cm}\) \(\boxed{S=4cm^{2}}\)

c) Un triángulo equilátero de altura 10 cm :

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

\(10^{2}+\dfrac {L^{2}} {4}=L^{2}\)

\(100=\dfrac {3} {4}L^{2}\)

\(L=11,55cm ; P=3\cdot l=34,65cm\)

\(S=\dfrac {b.h} {2}=\dfrac {11,55cm\cdot 10cm} {2}=57,75cm^{2}\)

\(\boxed{P=34,65cm}\) \(\boxed{S=57,75cm^{2}}\)

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo el lado mayor se llama hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto), mientras que los otros dos se llaman catetos.

La suma de los cuadrados de los catetos es igual a la hipotenusa también al cuadrado

\[\boxed{c^{2}=a^{2}+b^{2}}\]

\[c=\sqrt {a^{2}+b^{2}}\]

La explicación gráfica del Teorema de Pitágoras está en esta figura

Aquí os dejo unos cuantos ejercicios del Teorema de Pitágoras

\(\bullet\) Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden \(a=3;b=4\).

\(\ \ \ c=\sqrt {3^{2}+4^{2}}=\sqrt {9+16}=\sqrt {25}=\boxed5\)

\(\bullet\) Calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos miden \(a=7;b=2\).

\(\ \ \ c=\sqrt {7^{2}+2^{2}}=\sqrt {49+4}=\sqrt {53}=\boxed{7,28}\)

\(\bullet\) Calcular el cateto de un triángulo rectángulo si su hipotenusa mide 6 y el otro cateto 4.

\(\ \ \ b=\sqrt {c^{2}-a^{2}}=\sqrt {36-16}=\sqrt {20}=2\sqrt {5}=\boxed{4,47}\)

Comprobar si estos triángulos son rectángulos:

\( a) a=3; b=4; c= 5\)

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

\(4^{2}+3^{2}=5^{2}\)

\(16+9=25\)

\(25=25\ \ \ \ \) Si es un triángulo rectángulo.

\( b) a=5; b=10; c= 12\)

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

\(5^{2}+10^{2}=12^{2}\)

\(25+100=144\)

\(125\neq 144\ \ \ \ \) No es un triángulo rectángulo

\( c) a=8; b=15; c= 17\)

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

\(8^{2}+15^{2}=17^{2}\)

\(64+225=289\)

\(289=289\ \ \ \ \) Si es un triángulo rectángulo.

\( d) a=8; b=9; c= 10\)

\(a^{2}+b^{2}=c^{2}\)

\(8^{2}+9^{2}=10^{2}\)

\(64+81=100\)

\(145\neq 100\ \ \ \ \) No es un triángulo rectángulo.

Sí tenéis alguna duda, problema que queráis que os ayude, no olvideis en hacer un comentario en cualquier post. Os la resolveré en la mayor brevedad posible.

Clasificación de los triángulos según sus ángulos

Los triángulos según la longitud de sus ángulos se pueden dividir en:

• Acutángulo: Todos los ángulos son agudos \(\widehat {A} <  90^{\circ};\widehat {B} < 90^{\circ};\widehat {C} < 90^{\circ }\)

• Obtusángulo: Un ángulo obtuso \(\widehat {A} > 90^{\circ}\)

• Rectángulo: Un ángulo recto \(\widehat {A} = 90^{\circ}\)

 Clasificar los siguientes triángulos dados sus ángulos:

\(\ \ \ \bullet \widehat {A} = 45^{\circ};\widehat {B} = 75^{\circ};\widehat {C} = 60^{\circ}; Acutángulo\\\\\)

\(\ \ \ \bullet \widehat {A} = 115^{\circ};\widehat {B} = 25^{\circ};\widehat {C} = 40^{\circ}; Obtusángulo\\\\\)

\(\ \ \ \bullet \widehat {A} = 40^{\circ};\widehat {B} = 50^{\circ};\widehat {C} = 90^{\circ}; Rectángulo\\\\\)

Clasificación de los triángulos según sus lados

Los triángulos según la longitud de sus lados se pueden dividir en:

• Equilátero: Los tres lados del triángulo son iguales \(a=b=c\)

• Isósceles: Dos de los tres lados del triángulo son iguales \(a=b\neq c\)

• Escaleno: Los tres lados son diferentes \(a\neq b\neq c\) 

Clasificar los siguientes triángulos dados sus lados:

\(\ \ \ \bullet a=3;b=3;c=3\\\\\) Equilátero.

\(\ \ \ \bullet a=2;b=5;c=2\\\\\) Isósceles.

\(\ \ \ \bullet a=1;b=7;c=5\\\\\) Escaleno.

\(\ \ \ \bullet l=3\\\\\) Equilátero

Si tenéis alguna duda dejad un post en los comentarios.

Triángulos: Conceptos básicos

Un triángulo es la figura geométrica que contiene tres vértices (A, B, C), tres lados (a, b, c) y tres ángulos internos \(\left( \widehat {A},\widehat {B},\widehat {C}\right)\)

La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180º

\[\boxed{\widehat {A}+\widehat {B}+\widehat {C}= 180^{\circ }}\]





¿Es posible un triángulo con los siguientes ángulos: \(\widehat {A}=40^{\circ };\widehat {B}=35^{\circ };\widehat {C}=110^{\circ }\)

No, ya que su suma no es igual a 180º \(\widehat {A}+\widehat {B}+\widehat {C}\neq 180^{\circ }\)

¿Es posible un triángulo con los siguientes ángulos: \(\widehat {A}=20^{\circ };\widehat {B}=60^{\circ };\widehat {C}=100^{\circ }\)

Sí, ya que su suma es igual a 180º \(\widehat {A}+\widehat {B}+\widehat {C}= 180^{\circ }\)

Dados los ángulos de un triángulo: \(\widehat {A}=50^{\circ };\widehat {B}=60^{\circ }\) calcular el ángulo \(\widehat {C}\) ?

\(\widehat {A}+\widehat {B}+\widehat {C}= 180^{\circ }\)

\( 50^{\circ } + 60^{\circ } + \widehat {C}= 180^{\circ }\)

\(\widehat {C}= 180^{\circ }\ - 50^{\circ } - 60^{\circ } = 70^{\circ }\)

Sistema sexagesimal: División de angulo con un numero entero

La división de ángulos en forma compleja se hará por partes primero los grados, después los minutos y por último los segundos.

El cociente de estas divisiones será la solución final y los restos de la primera y segunda división será multiplicados por 60 y sumados a los minutos y/o segundos del enunciado.

Con los ejemplos se verá un poco más fácil.

\(\bullet 48^{\circ}\ 22' 16'' : 2\)

\( \ \ 48^{\circ} : 2\rightarrow\ Cociente\ 24^{\circ}\hspace{1cm}Resto\ 0^{\circ}\\ \)

\( \ \ 0^{\circ}\cdot 60 + 22' = 22'\ \ \)

\( \ \ 22' : 2\rightarrow\ Cociente\ 11'\hspace{1cm}Resto\ 0'\ \ \)

\( \ \ 0'\cdot 60 + 16'' = 16''\ \ \)

\( \ \ 16'' :  2\rightarrow\ Cociente\ 8''\\\)

\( \ \boxed{24^{\circ}\ 11'\ 8''}\ \ \)

\(\bullet 44^{\circ}\ 23' 50'' : 3\)

\( \ \ 44^{\circ} : 3\rightarrow\ Cociente\ 14^{\circ}\hspace{1cm}Resto\ 2^{\circ}\\ \)

\( \ \ 2^{\circ}\cdot 60 + 23' = 143'\ \ \)

\( \ \ 143' : 3\rightarrow\ Cociente\ 47'\hspace{1cm}Resto\ 2'\ \ \)

\( \ \ 2'\cdot 60 + 50'' = 170''\ \ \)

\( \ \ 170'' : 3\rightarrow\ Cociente\ 56'',67\\\)

\( \ \boxed{14^{\circ}\ 47'\ 57''}\ \ \)

\(\bullet 45^{\circ}\ 45' 22'' : 7\)

\( \ \ 45^{\circ} : 7\rightarrow\ Cociente\ 6^{\circ}\hspace{1cm}Resto\ 3^{\circ}\\ \)

\( \ \ 3^{\circ}\cdot 60 + 45' = 225'\ \ \)

\( \ \ 225' : 7\rightarrow\ Cociente\ 32'\hspace{1cm}Resto\ 1'\ \ \)

\( \ \ 1'\cdot 60 + 22'' = 82''\ \ \)

\( \ \ 82'' : 7\rightarrow\ Cociente\ 11'',71\\\)

\( \ \boxed{6^{\circ}\ 32'\ 12''}\ \ \)

\(\bullet 46^{\circ} : 7\)

\( \ \ 46^{\circ} : 7\rightarrow\ Cociente\ 6^{\circ}\hspace{1cm}Resto\ 4^{\circ}\\ \)

\( \ \ 4^{\circ}\cdot 60 + 0' = 240'\ \ \)

\( \ \ 240' : 7\rightarrow\ Cociente\ 34'\hspace{1cm}Resto\ 2'\ \ \)

\( \ \ 2'\cdot 60 + 0'' = 120''\ \ \)

\( \ \ 120'' : 7\rightarrow\ Cociente\ 17'',1\\\)

\( \ \boxed{6^{\circ}\ 34'\ 17''}\ \ \)

Si queréis proponerme otros ejercicios dejadme un post con vuestras propuestas

Multiplicación de un ángulo en forma compleja con un numero entero.

La multiplicación de un numero entero con un ángulo en forma compleja será igual al producto de cada unidad (grado, minuto y segundo) con el numero entero.

El problema viene cuando la solución supera 60 en los minutos y/o segundos. Haremos como en la suma y resta, restar 60'' y sumar 1' y/o restar 60' y sumar 1º. Puede pasar que superemos los 120 y 180 en el resultado, deberemos restar 120 ó 180 sumar 2 ó 3 de la unidad anterior.

Aquí os dejo unos ejercicios que os lo explicarán mejor.


\(\bullet 24^{\circ}\ 12'\ 8''\ X \ 3\ \)

\[\begin{array}{rrr} 24^{\circ} & 12' & 8'' \\ \color{white}{0} & \color{white}{0} & X\ 3 \\ \hline \\ 72^{\circ} & 36' & 24''\end{array}\]

\(\bullet 46^{\circ}\ 25'\ 50''\ X \ 2\ \)

\[\begin{array}{rrr} 46^{\circ} & 25' & 50'' \\ \color{white}{0} & \color{white}{0} & X\ 2 \\ \hline \\ 92^{\circ} & 50' & 100'' \\  & +1' & -60'' \\ \hline \\ 92^{\circ} & 51' & 40''\end{array}\]

\(\bullet 87^{\circ}\ 40'\ 5''\ X \ 2\ \)

\[\begin{array}{rrr} 87^{\circ} & 40' & 5'' \\ \color{white}{0} & \color{white}{0} & X\ 2  \\ \hline \\ 174^{\circ} & 80' & 10'' \\ +1^{\circ} & -60' &  \\ \hline \\ 175^{\circ} & 20' & 10''\end{array}\]

\(\bullet 67^{\circ}\ 43'\ 12''\ X \ 4\ \)

\[\begin{array}{rrr} 67^{\circ} & 43' & 12'' \\ \color{white}{0} & \color{white}{0} & X\ 4  \\ \hline \\ 268^{\circ} & 172' & 48'' \\ +2^{\circ} & -120' &  \\ \hline \\ 270^{\circ} & 52' & 48''\end{array}\]

\(\bullet 23^{\circ}\ 40'\ 50''\ X \ 2\ \)

\[\begin{array}{rrr} 23^{\circ} & 40' & 50'' \\ \color{white}{0} & \color{white}{0} & X\ 2  \\ \hline \\ 46^{\circ} & 80' & 100'' \\ \color{white}{0} & +1' & -60''  \\ \hline \\ 46^{\circ} & 81' & 48''  \\ +1^{\circ} & -60' & \color{white}{0} \\ \hline \\ 47^{\circ} & 21' & 40''\end{array}\]

Si queréis preguntar algo, sobre cualquier ejercicio, no dudéis en postear. Muchas gracias.